Die Galerie Tenne wird betrieben von der Gruppe Tenne der Ortsgeschichtlichen Kommission Schwamendingen (OGK), einer selbständigen Untergruppe des Quartiervereins Schwamendingen (QVS). Der OGK gehört neben der Gruppe Tenne auch die Gruppe Museum an, welche sich für die Bewirtschaftuung der historischen Sammlung und den Betrieb des Ortsmuseums auszeichnet.

Galerie und Museum befinden sich in jeweils eigenen Flügeln des gleichen Gebäudes an der Probsteistrasse 8-10 in Zürich-Schwamendingen.

Die OGK führt eine eigene Rechnung, welche jeweils zu Handen des QVS geprüft und durch die Generalversammlung abgenommen wird. Finanziert wird die OGK aus Erträgen der Galerie-Vermietung, durch Beiträge der Stadt Zürich und mit Hilfe von Gönnerinnen und Gönnern.